数字信号处理(1):该死的傅立叶

傅立叶变换

\[F(X)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-jwt} {d}x\]

上面的公式是傅立叶变换的基本表达，看完之后在点头称是的时候，都会默问：“这是什么鬼？(WTF)”。

傅立叶

傅立叶在戎马生涯之后还能专心科研，还能有那样的开创性贡献，真是令人惊叹。既然他已作古，理解他的思想又是这么有难度，因此学完信号处理课程之后都有一个共同的想法——该死的傅立叶。

傅立叶公式是什么意思呢？简单来说就是所有所有信号的都可以用正弦信号的和来表示。

当时他研究的对象还不是信号，而是热力学，通过微积分的思想解释所有的热力流动都可以基于两边温度微小的温度差之和。后继者们发现对信号进行这种描述非常方便计算和建模，于是把这个思想发扬光大，有了信号系统里面的各种傅立叶变换。为什么傅立叶级数方便信号分析呢？主要是正弦信号是非常理想的信号描述因子，正弦信号通过理想的线性时不变系统后，只会发生幅度和相位的变化，形状却保持一致。这就在信号的数学描述上，提供了一个很好的基，使得信号和系统的建模就容易很多。

从而，我们就可以知道该如何描述一个周期信号（假设周期为 1/f0），可以得到该信号的傅立叶分解

\[x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(2\pi nf_{0}t)+b_nsin(2\pi nf_{0}t)]\]

傅立叶当年就给出了 \(a_n\) 和 \(b_n\) 的计算公式，也就是所谓的傅立叶级数。

\[a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{T-1} y(t)cos(2 \pi nf_{0}t) \text{d}x \qquad n \geq 0\]\[b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{T-1} y(t)sin(2 \pi nf_{0}t) \text{d}x \qquad n \geq 1\]

欧拉公式

\[e^{ix} = cos(x)+isin(x)\]

正常人看完公式又要默念：“这又是什么鬼？”，但数学上看，这是一个非常完美的公式，包含了数学上的多种表达方式，公式优雅极简，有如天籁。

为什么说着傅立叶，把欧拉也拉下水了（虽然从公式上看这两人是一路货色），因为数学上课正余弦是相通的，统一都叫正弦信号（Sinosouid）。由于正余弦信号只是相位上的差别，引入复平面，就可以把 cos 和 sin 的分量用复数表示出来，从而信号的相位信息可以有了数学上的表达。

有一段课程将数学上基的概念也扩展到傅立叶变换，可以将傅立叶变换的过程理解为输入信号和这个基（\(e^{jwt}\)）相除，这样使得傅立叶变换的公式就非常好记忆。

傅立叶的儿子们

等等，儿子又是什么鬼？也就是傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换等等，想当年基本上是傻傻分不清楚。后来才知道是历史遗留问题，根据处理信号的不同，不同空间变化有不同的叫法和解释。根据信号是否是连续的，可以分为连续信号和离散信号，根据信号是否是周期的可以分为周期信号和非周期信号。两个条件叠加起来的话，就有4种信号，对应的频率空间就有4种叫法和计算公式。

简称	名称	针对信号
FS	傅立叶级数	连续周期信号
DFS/T	离散傅立叶级数	离散周期信号
CTFT	傅立叶变换	连续非周期信号
DTFT	离散傅立叶变换	离散非周期信号

对于信号处理，最常用的就是 DFT，因为计算的输入和输出都是离散信号，方便计算机处理。但可以看到 DFT 是针对离散周期信号而言的，因此计算前理论上还有一个周期延展的过程，将信号两边的数值补齐。

傅立叶的亲属们

主要是拉氏变换和z变换，对于不收敛的信号，傅立叶变换是镇不住的，这时候拉氏变换就派上了用场，拉氏变换最早是用来解微分方程的，可以将复杂的微分方程化解为简单的数学运算，这个在电路分析、系统分析的时候尤其有用，通过拉氏变换零极点的位置，就可以很好的判断系统的稳定性。这里也用到一个神奇的数字，自然对数 e，因为\(e_{x}\) 的导数还是 \(e_{x}\) ，在导数面前这么坚挺的也就这个神奇的 e 了。于是当面对不收敛信号的时候，一个 \(e^{-t}\) 过去就让它服服贴贴的。拉氏变换里面的 s= a + jw，这可是整个复平面，于是傅立叶变换相当于是拉氏变换在虚轴上的投影。

z 变换可以看成是拉氏变换的一个投影，把拉氏变换里面的复平面投影到 z 平面，用来研究离散信号，这个简单的变换就是 \(z=e^{sT}\) ，把拉氏变换复平面的虚轴映射为一个圆圈。可以用来对模拟电路进行数字化，在数字信号处理里面有很多用处，尤其是滤波器的设计。

对于小波变换，主要是用来研究线性时变系统，将傅立叶变换的基都换掉了，这样就可以对信号做时频分析（信号的频谱随着时间变化）。